Musique & Mathématique

27 novembre 2010

La gamme

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La gamme – un peu de théorie

Introduction

Dans la littérature concernant la théorie de la musique, la division de l’octave en 12 intervalles est souvent présentée comme un acquit culturel qui s’est affiné au cours des siècles. Cependant cette division en 12 demi-tons ou encore la valeur retenue pour le ‘comma’ peuvent être synthétisées facilement par un simple calcul…

Rappel de physique

Un son est la propagation d’une onde acoustique dans l’air ambiant, d’une variation rapide de pression générée par une source. Cette variation est très faible en amplitude :

  • Une variation de 20 Pascals seulement pour une pression atmosphérique d’environ 100000 Pascals atteint le ‘seuil de gêne’ pour notre oreille (120 décibels).

Ces ondes sont dites sphériques car elles se propagent à la même vitesse dans toutes les directions.

Une image classique de cette propagation est celle des ronds générés à la surface d’un plan d’eau calme lorsqu’on y jette une pierre. Bien sûr les ondes ‘aquatiques’ sont bidimensionnelles, elles se propagent sur une surface, tandis que les ondes acoustiques sont tridimensionnelles et elles se progagent dans un volume d’air.

L’analogie est complète si on identifie la hauteur des vagues des ondes aquatiques (des ondelettes) à la variation de pression des ondes acoustiques. Dans les deux cas on s’aperçoit que la vitesse de l’onde ne dépend pas de la perturbation appliquée mais uniquement du milieu dans lequel elle se propage :

  • environ 15 km/h pour les ondes aquatiques, elle dépend en fait de la hauteur de liquide et de sa viscosité.
  • environ 340 mètres par seconde pour les ondes acoustiques, elle dépend de la pression atmosphérique et de la vitesse de vent (mais pas de l’âge du capitaine).

En observant la hauteur d’eau en un point particulier du plan d’eau, on voit qu’elle passe par un minimum et un maximum en oscillant de manière périodique. La différence entre le maximum et le minimum est appelée ‘amplitude’. Le nombre d’oscillations par seconde est appellé le Hertz (Hz), il mesure la ‘fréquence’ d’une onde.

Physiologie de l’oreille

Notre oreille permet de percevoir tout un domaine d’ondes sonores qu’il est possible de représenter dans le plan fréquences-amplitudes de la manière suivante :

domaine

(nan..nan..ce n’est pas la carte des Etats-Unis !)

L’oreille possède une plus grande sensibilité vers une fréquence de 4000 Hertz. Elle peut, vers cette fréquence, détecter une variation de pression de 0,00001 Pascal (soit -10 décibels) pour une pression atmosphérique de 100000 Pascals!!

A l’inverse les amplitudes maximales de 120 décibels correspondent à un seuil de douleur pour l’oreille et au-delà des dégâts irréversibles peuvent être occasionnés.

Les fréquences perceptibles par l’oreille humaine vont de 20Hz (son grave) à 20000Hz environ (son aigu). C’est la fréquence d’onde acoustique qui correspond en musique à une hauteur de note.

La nature a fait que nous avons une perception logarithmique des fréquences acoustiques c’est-à-dire que nous sommes sensibles au rapport des fréquences entre deux sons et non à leur différence.

Exemple

Le la3 (440Hz) et le la4 (880Hz) sont séparés par un intervalle que les musiciens appellent octave, dont la caractéristique est un rapport de fréquence = 2 ( 880/440 ).

Nous percevons d’une manière identique l’intervalle entre la note la1 (110Hz) et le la2 (220Hz) bien que leur différence en Hertz soit plus petite.

Harmoniques et timbres

Le mathématicien français Joseph Fourier a montré que tout signal périodique de fréquence F peut être décomposé en somme de signaux sinusoïdaux de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, etc, appellés ‘harmoniques’. D’un point de vue mathématique cette somme est infinie, mais appliquée aux sons on peut négliger les harmoniques à partir d’un certain rang car elles nous sont inaudibles au-delà de 20000 Hertz.Ce sont les amplitudes des différentes harmoniques qui déterminent le ‘timbre’ d’un son. D’une manière générale, on considère que les sons s’accordent bien s’ils ont beaucoup d’harmoniques en commun. En particulier les intervalles suivants jouent un rôle déterminant :

  • une octave : c’est l’intervalle entre la fréquence de base et l’harmonique2, le rapport de fréquence vaut 2.
  • une quinte : c’est l’intervalle entre l’harmonique3 et l’harmonique2, le rapport de fréquence vaut 3/2.
  • un ton : il est défini comme une combinaison des deux intervalles précédents : il est égal à deux quintes moins une octave, le rapport de fréquence du ton vaut (3/2)*(3/2)/2 = 9/8; c’est aussi l’intervalle entre l’harmonique9 et l’harmonique8.

Problème de la gamme

Combien y-a-t’il de quintes dans une octave ?

On voit que deux quintes correspondent à un rapport de fréquences de (3/2)*(3/2) = 9/4 = 2,25 dépassant l’octave d’un ton. Le nombre de quintes dans l’octave est donc compris entre 1 et 2.

En fait, il en faut S tel que (3/2)^S = 2, soit S = log(2)/log(3/2) = 1,70951129…

Le problème de ce nombre S, est qu’il est irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction P/Q, et il est donc impossible de trouver une graduation (une gamme) qui contient à la fois les quintes, les octaves et leurs combinaisons.

Fractions continues

Heureusement un procédé mathématique appellé ‘fractions continues’ permet de venir à bout de ce problème, tout du moins par approximations successives. Ce procédé permet de trouver la suite des meilleures approximations d’un nombre irrationnel par des fractions P/Q. La décomposition de notre nombre S en fraction continue nous permettra de trouver les rationnels P/Q nous donnant une gamme dans laquelle P quintes = Q octaves.

La suite des fractions pour l’approximation de S est  (voir procédé ici) :

1/1, 2/1, 5/3, 12/7, 41/24, 53/31, 306/179, 665/389, 15601/9126, …

Les deux premières approximations sont trop grossières pour avoir une traduction musicale :

  • 1/1 : 1 octave = 1 quinte (l’erreur est de 71%), dans cette gamme on ne peut évaluer un intervalle qu’en nombre entier d’octaves… plutôt limité…
  • 2/1 : 1 octave = 2 quintes (l’erreur est de 29%), cette gamme est deux fois plus précise que la précédente, les intervalles sont gradués en demi-octaves…mais on ne peut pas définir le ‘ton’ car deux quintes moins une octave = zéro.

C’est pourquoi nous commencerons l’étude à partir de la fraction 5/3.

1ere approximation S = 5/3

On obtient une graduation où 5 quintes valent 3 octaves (avec une erreur de 4,3%). L’octave est alors divisée en 5 parties égales, et la quinte en 3 parties égales.

gam5

 

 

 

 

do re+ fa- sol+ si- do

On voit que le plus petit intervalle de cette gamme est justement le ton défini plus haut comme 2 quintes moins 1 octave. Pour cette raison cette gamme est appelée gamme pentatonique (à 5 tons). C’est la gamme caractéristique du blues.

2ème approximation S = 12/7

On obtient une graduation plus précise que la précédente où 12 quintes valent 7 octaves (avec une erreur de 0,48%). C’est la gamme chromatique classique et bien tempérée que tout le monde a appris à l’école.

gam12

 

 

 

 

do do# ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do

Dans cette gamme, l’octave est divisée en 12 unités, la quinte est divisée en 7 unités. Le ton (2 quintes moins 1 octave) vaut donc 7+7-12 = 2 unités ce cette graduation. L’unité de la gamme chromatique bien tempérée est donc appelée avec raison un demi-ton !!

L’étendue de cette gamme est de 6 tons exactement.

Mais continuons sur notre lancée…

3eme approximation S = 41/24

Dans cette gamme 41 quintes valent 24 octaves (l’erreur est de 0,12%).

Eh oui…plus S est approché précisément, plus les nombres P et Q grandissent et plus l’unité de base devient petite (on ne peut pas avoir le beurre, l’argent du beurre et le sourire de la crémière !

Si cette gamme était utilisée, l’octave serait divisée en 41 unités, la quinte en 24 unités et le ton en 24+24-41 = 7 unités. Cette gamme serait donc découpée en 41/7 = 5,8571… tons.

Si cette gamme n’est pas utilisée c’est parce qu’à peu de frais supplémentaire, on obtient l’approximation suivante bien plus précise…

4eme approximation S = 53/31

Dans cette gamme 53 quintes valent 31 octaves (l’erreur est de 0,017%).

Ceci veut dire que l’octave est divisée en 53 unités, la quinte en 31 unités, et le ton en 31+31-53 = 9 unités. Cette gamme est donc découpée en 53 neuvième de ton, soit 5,8888… tons.

Telle quelle, cette gamme est impraticable car pour repérer une note, il faudrait l’écrire sur une portée permettant de discerner les 53 niveaux de l’octave. Mais passons outre, rien ne nous empêche de raisonner avec des intervalles multiples de cette unité.

Décomposons la quinte et l’octave en intervalle plus petits (en tons) :

  • 1 quinte (31 unités) = 9+9+9+4 unités = 3 tons + 4 unités.
  • 1 octave (53 unités) = (9+9+9+4)+9+9+4 unités = 5 tons + 2*4 unités.

Appelons D l’intervalle de 4 unités que nous trouvons dans les deux expressions, nous avons :

  • 1 quinte = 3 tons + D
  • 1 octave = 5 tons + 2D = 1 quinte + 2 tons + D.

Si vous avez appris le solfège, ce D vous le connaissez : c’est le demi-ton diatonique. Cette graduation lié à S=53/31 permet donc de construire la gamme diatonique !!

Encore un petit effort…

La différence entre un ton et un demi-ton diatonique est appelé en théorie de la musique ‘demi-ton chromatique’ par définition. Dans cette graduation le demi-ton chromatique vaut donc 9-4 = 5 unités.

La différence entre demi-ton chromatique et un demi-ton diatonique est également appellé ‘comma’, il vaut 5-4 = 1 unité. Le comma est donc l’unité de base de cette graduation !!


 Mais alors… cela veut dire que la valeur du comma, qui dans le cours de solfège nous tombait du ciel ou nous était présentée comme le plus petit intervalle discernable à l’oreille, découle en fait directement de la 4ème approximation de S = log(2)/log(3/2) en fractions continues !

Vous pouvez vous entraîner à distinguer le comma qui se trouve entre le do (523,25Hz) et le si# (530,39Hz) :

do si#


La valeur du comma peut être affinée, c’est ce que l’on va faire ci-après.

5eme approximation S = 306/179

Dans cette gamme 306 quintes valent 179 octaves (l’erreur est de 0,0014%). Je ne m’étendrais pas sur cette approximation parce qu’à peu de frais supplémentaire, nous obtenons l’approximation suivante 50 fois plus précise…

Dans cette gamme, l’octave est divisée en 306 unités, la quinte en 179 unités. A titre d’exercice, calculer le nombre d’unités des intervalles suivants :

  • ton
  • demi-ton diatonique
  • demi-ton chromatique
  • comma

6eme approximation S = 665/389

Dans cette gamme 665 quintes valent 389 octaves (l’erreur est de 0,00003%).

Ceci veut dire que :

  • l’octave est divisée en 665 unités,
  • la quinte en 389 unités,
  • le ton en 389+389-665 = 113 unités,
  • le demi-ton diatonique (D = 1 quinte – 3 tons) = 389-3*113 = 50 unités
  • le demi-ton chromatique (1 ton – D) = 113 – 50 = 63 unités,
  • le comma (demi-ton chromatique – D) = 63-50 = 13 unités.

On trouve que la répartition des demi-tons diatonique et chromatique dans un ton est légérement différente que dans le cas de la gamme diatonique; en se ramenant au cas classique où 1 ton vaut 9 commas, on obtient :

  • un demi-ton diatonique = 9*50/113 = 3,9823 commas (au lieu de 4)
  • un demi-ton chromatique = 9*63/113 = 5,0177 commas (au lieu de 5).

Les octaves et les quintes de cette gamme seront alors plus justes (600 fois plus juste) que dans le cas classique. L’avantage d’une telle précision est qu’elle permet de maîtriser le phénomène de battements dans certains accords, souvent désagréable à l’oreille…

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