Musique & Mathématique

10 septembre 2010

Fractions continues

Filed under: Mathématique — Mots-clefs :, , , — admin @ 17 h 00 min

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Fractions continues

Introduction

La décomposition en fractions continues permet d’obtenir une approximation d’un réel par une suite de fractions de plus en plus précises, appelées ‘les réduites’.

La recette

Par exemple, partons du réel S = log(2)/log(3/2) = 1,70951129 rencontré dans l’article Gamme.
La suite des fractions pour l’approximation de S est :
1/1, 2/1, 5/3, 12/7, 41/24, 53/31, 306/179, 665/389, …

D’accord, mais comment fait-on ??
On construit d’abord une suite un définie par :

u0 = S = 1,70951129…
un+1 = 1 / fract(un) , où fract(un) prend la partie fractionnaire de un.

Puis vn = ent(un), prends les parties entières de un.

En s’armant d’une machine à calculer (quatre opérations) on obtient facilement les valeurs de un et vn :

u0 = 1,709511291 v0 = 1
u1 = 1,40942084 v1 = 1
u2 = 2,442474596 v2 = 2
u3 = 2,260016753 v3 = 2
u4 = 3,84590604 v4 = 3
u5 = 1,1821644 v5 = 1
u6 = 5,489547 v6 = 5
u7 = 2,04270 v7 = 2

À partir de la suite vn, construisons les deux suites pn et qn définies par :

p0 = 1
p1 = ent(S) , partie entière de S
pn+1 = vn * pn + pn-1

q0 = 0
q1 = 1
qn+1 = vn * qn + qn-1

La n-ième approximation de S par des rationnels est donnée par la fraction pn/qn.

Dans le cas qui nous occupe (S = 1,70951129), on a :

n vn pn qn pn/qn
0 1 1 0 infini
1 1 ent(S) = 1 1 1/1
2 2 1+1*1=2 0+1*1=1 2/1
3 2 1+2*2=5 1+2*1=3 5/3
4 3 2+2*5=12 1+2*3=7 12/7
5 1 5+3*12=41 3+3*7=24 41/24
6 5 12+1*41=53 7+1*24=31 53/31
7 2 41+5*53=306 24+5*31=179 306/179
8 53+2*306=665 31+2*179=389 665/389

La dernière colonne contient les réduites successives voulues de S.

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Un commentaire »

  1. Merci d’avoir un blog interessant

    Commentaire by jozzy-online — 28 février 2010 @ 15 h 07 min

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